Serre's reduction of linear partial differential systems with holonomic adjoints

Given a linear functional system (e.g., ordinary/partial differential system, differential time-delay system, difference system), Serre’s reduction aims at finding an equivalent linear functional system which contains fewer equations and fewer unknowns. The purpose of this paper is to study Serre’s reduction of underdetermined linear systems of partial differential equations with either polynomial, formal power series or analytic coefficients and with holonomic adjoints in the sense of algebraic analysis. We prove that these linear partial differential systems can be defined by means of a single linear partial differential equation. In the case of polynomial coefficients, we give an algorithm to compute the corresponding equation. Key-words: Serre’s reduction, underdetermined linear systems of partial differential equations, holonomic D-modules, constructive module theory, mathematical systems theory, symbolic computation. ∗ University of Limoges; CNRS; XLIM UMR 6172, DMI, 123 avenue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex, France, [email protected]. † INRIA Saclay Ile-de-France, DISCO project, CNRS-SUPELEC, 3 rue Joliot Curie, 91192 Gif-sur-Yvette Cedex, France, [email protected] in ria -0 05 45 65 8, v er si on 2 14 D ec 2 01 0 Réduction de Serre des systèmes linéaires d’équations aux dérivées partielles dont les adjoints sont holonomes Résumé : Etant donné un système fonctionnel linéaire (e.g., système d’équations différentielles ordinaires, système d’équations aux dérivées partielles, système d’équations différentielles à retard, système d’équations aux différences), la réduction de Serre a pour but de trouver un système fonctionnel linéaire équivalent contenant moins d’équations et d’inconnues. L’objectif de ce papier est l’étude de la réduction de Serre des systèmes linéaires sous-déterminés d’équations aux dérivées partielles à coefficients polynomiaux, séries formelles ou séries localement convergentes, dont les adjoints sont holonomes au sens de l’analyse algébrique. Nous prouvons que de tels systèmes peuvent être définis par une seule équation aux dérivées partielles. Dans le cas des coefficients polynomiaux, nous donnons un algorithme permettant de calculer l’équation correspondante. Mots-clés : Réduction de Serre, systèmes linéaires sous-déterminés d’équations aux dérivées partielles, D-modules holonomes, théorie constructive des modules, théorie mathématique des systèmes, calcul formel. in ria -0 05 45 65 8, v er si on 2 14 D ec 2 01 0 Serre’s reduction of linear partial differential systems with holonomic adjoints 3